– La necesidad de una nueva geometría: Geometría fractal versus Geometría euclidiana
La geometría euclidiana ha simplificado las irregularidades. En concreto ha linealizado las leyes, ha hecho una aproximación de la ley real y ha regularizado las formas geométricas, es decir, suponer suaves o lisas líneas o superficies que en rigor no lo son.
Recientemente se ha descubierto que la naturaleza es caótica, sus leyes a veces se comportan de una manera determinista y caótica de manera que un ligero aumento de temperatura en un lugar de la Tierra puede tener consecuencias previsibles pero indeterminadas. La naturaleza es irregular.
Por ese motivo surgió lo que hoy conocemos como geometría fractal, una parte de la matemática que se encarga de encontrar un orden y una regla en ese caos natural igual que Dedekind racionalizó el número irracional.
Dar una definición correcta y sencilla de fractal no es fácil.
La palabra “fractal” proviene del latín fractus, que significa “fragmentado”, “fracturado”, o simplemente “roto” o “quebrado”, muy apropiado para objetos cuya dimensión es fraccionaria. El término fue acuñado por Benoît Mandelbrot en 1977 aparecido en su libro The Fractal Geometry of Nature. Al estudio de los objetos fractales se le conoce, generalmente, como geometría fractal.
Un fractal es un conjunto matemático que puede gozar de autosimilitud a cualquier escala, su dimensión no es entera o si es entera no es un entero normal. El hecho que goce de autosimilitud significa que el objeto fractal no depende del observador para ser en sí, es decir, si tomamos algunos tipos de fractales podemos comprobar que al hacer un aumento doble el dibujo es exactamente igual al inicial, si hacemos un aumento 1000 comprobaremos la misma característica, así pues si hacemos un aumento n, el dibujo resulta igual luego las partes se parecen al todo.
Un conjunto u objeto es considerado fractal cuando su tamaño se hace arbitrariamente mayor a medida que la escala del instrumento de medida disminuye. Por ejemplo:
Sea C una curva cualquiera y k la escala del instrumento de medida. Si el límite para cuando k se hace infinitamente pequeño y C tiende a infinito entonces se considera fractal.
Hay muchos objetos ordinarios que, debido a su estructura o comportamiento, son considerados fractales naturales, aunque no los reconozcamos. Las nubes, las montañas, las costas, los árboles y los ríos son fractales naturales aunque finitos ergo no ideales; no así como los fractales matemáticos que gozan de infinidad y son ideales.
Algunas definiciones sencillas extraídas de ensayos y libros acerca del tema:
- Modelos infinitos comprimidos de alguna manera en un espacio finito
- Bellísimos y fascinantes diseños de estructura y complejidad infinita.
Resumen de las propiedades de los fractales:
- Dimensión no entera.
Como se mostrará en el apartado siguiente la dimensión de un fractal no es un número entero sino un número generalmente irracional. - Compleja estructura a cualquier escala.
Los fractales muestran estructuras muy complejas independientemente de la escala a la cual lo observemos. - Infinitud.
Se consideran infinitos ya que a medida que aumentamos la precisión del instrumento de medición observamos que el fractal aumenta en longitud o perímetro. - Autosimilitud en algunos casos.
Existen fractales plenamente autosimilares de manera que el todo está formado por pequeños fragmentos parecidos al todo.
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LOS FRACTALES EN EL ÁMBITO DE LA MÚSICA
Beethoven, junto con Bach y Mozart pasaron a la historia como grandes compositores de obras clásicas de increíble majestuosidad y belleza. Pero lo que reveló hace años el estudio de los fractales es que también están integrados en obras clásicas.
El método que siguieron estos compositores, ya sea de manera intencionada o no, para integrar fractales y matemáticas era mediante una analogía entre una dimensión fractal y el número y la disposición de las diferentes notas de una obra o pieza.
A continuación hay un completo análisis de la pieza “Primera Escossaien” de Beethoven donde se demuestra que existe una estructura fractal interna en la obra.
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Como la imagen muestra la pieza esta formada por un total de 32 unidades o compases que se dividen en 2 secciones de 16 unidades cada una. A: de la 1 a la 16; B: de la 17 a la 32. A su vez se dividen en 2 períodos. Periodo A: 1 y 2; periodo B: 3 y 4, que se fraccionan en 2 partes: a y a’ compuestas por 4 unidades (1, 2, 3, 4) agrupadas cada una de a 2 (1 y 2). En conjunto pues la obra se divide en 32 –> 16 –> 8 –> 4 –> 2, una sucesión binaria que goza de autosimilitud propia de una estructura fractal.
Pero la unión música-fractal no queda ahí. Actualmente algunos sintetizadores son usados para crear música techno con bases fractales. También hay autores que están experimentando con este tipo de música que promete. Richard F. Voss – físico estadounidense – conjetura que existe una filiación entre la manera en que nuestro sistema sensorial envía la información al sistema nervioso y las dimensiones fractales de manera que la música con estructura fractal es grata al oído humano.
El programa Generador Voss de música fractal que acompaña el trabajo es un pequeño ejemplo de cómo integrar música y fractales. El programa reproduce el método que Richard F. Voss propone para crear melodías fractales.
El funcionamiento es el siguiente:
1.- Se escogen tres dados de diferentes tamaños pero de 6 caras.
2.- En la primera tirada se lanzan los tres y se anota la suma de los tres valores obtenidos.
3.- En la tirada 2 se lanzan los dados pequeño y mediano y se suman los resultados junto al primer valor del dado mayor.
4.- En la tirada 3 se lanza el pequeño y se suma el valor obtenido a los valores del mayor de la primera tirada y del mediano de la segunda tirada.
5.- Se reinicia el proceso y se continúa ad infinitum.
Ejemplo:
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Paso |
Dados |
Valores obtenidos |
Suma |
| 1 | Mayor, mediano y menor | 5, 3, 6 | 5 + 3 + 6 = 14 |
| 2 | Mediano y menor | 2, 1 | 5 + 2 + 1 = 8 |
| 3 | Menor | 3 | 5 + 2 + 3 =10 |
| 4 | Mayor, mediano y menor | 1, 4, 3 | 1 + 4 + 3 = 8 |
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… |
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Si a estos valores les hacemos corresponder un determinado sonido de un instrumento o simplemente un tono se obtienen melodías que bien parecen creadas artificialmente aún habiendo sido creadas aleatoriamente.
Musicáticas Patri. 